闭环传递函数

闭环传递函数



闭环传递函数是广泛应用在自动控制原理传递函数中的一个概念。

在负反馈闭环系统中： 假设系统单输入R（s);单输出C(s),前向通道传递函数G（s),反馈为负反馈H(s)。此闭环系统的闭环传递函数为 G（s）/[1+H(s)*G(s)]。

经典控制理论中，分析线性定常系统的性能，使用分析工具和公式时，开环传递函数和闭环传递函数交织一起，使人疑惑。
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首先，明确系统结构的基本概念：前向通路G,反馈H，开环为GH,闭环P=G/(1+GH)。
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性能指标主要是稳、快、准，三个方面，就分别来分析。
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1.稳
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判稳本来可以通过直接求“闭环传递函数”的极点，检验极点是否都是负实部来实现。但是，解高次方程太麻烦，所以出现了许多便宜的替代方法。
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1)劳斯判据就是用“闭环传函”分母多项式系数来列表实现的。
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2)频率特性判稳
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(1)奈奎撕特图
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依据幅角原理，本来是对“闭环传函”分母1+GH(s)，用jw代替s，当w从0到无穷变化时，考查1+GH(jw)曲线包围原点0的情况。但觉得画出GH(jw)还要平移1，麻烦！干脆偷懒不平移，只考查GH(jw)曲线包围-1的情况，由此推导出奈氏判据。此时GH(jw)曲线和补偿的90v大圆弧合称“奈奎撕特曲线”。这就是“奈奎撕特图”借助开环传函来绘制的缘由。
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(2)Bode图
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由于“Bode图”与“奈奎撕特图”有很好的对应性，且工业界用得更广，所以把奈氏判据推广到借助“Bode图”的对数稳定判据。因此，“Bode图”也借助开环传函来绘制。
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其实，工业界也绘制独立元部件如运放的“Bode图”，不是用于判稳，只用于查看该元部件（系统）的带宽、谐振频率等频率特性，也即绘制“闭环系统”的“Bode图”。

2.快
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1)时域
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“快”即动态性能，该指标主要用于研究特定输入下，系统输出的表现，即输出跟随复现输入的能力，这和闭环传函密切相关，所以教材中的时域公式用“闭环传函”参数与性能指标联系起来。所以单位阶跃响应动态性能指标都与闭环传函相关。
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2)频域
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频域性能指标（如谐振频率，谐振峰值）本来是某环节元件（即小系统，可以是闭环，也可能是开环系统）的指标，应该依据该环节的传递函数P(s)转化成频率特性P(jw)求解。
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但是，这个环节（小闭环系统）可以成为更大闭环系统的前向通路。如果从大系统角度看，如果此时大系统是单位负反馈，该环节恰好表现成大系统的开环传递函数。因而令人疑惑。
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3.准
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准”即稳态误差。本来是求出误差信号的表达式e(t)，然后求终值。因为可以借助于拉普拉斯变换，有便利的办法。先求误差传递函数Pe(s)。那么
E(s)=R(s)*Pe(s)。输入信号是时间的幂函数，如阶跃、斜坡、加速度等，则可以用总值定理求解稳态值。还有更便利的，因为Pe(s)=1/(1+GH)，所以先对Pe(s)用终值定理分析，令s->0，使得Pe(s)化简。此时发现Pe的一部分GH，即开环传递函数，与稳态误差相关。这就是型别和开环增益与稳态误差系数的关系。这当然让人错觉误差与开环传递函数相关。
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输入是周期函数时，只能用频率特性了。由于Pe(jw)不能像时域那样化简，所以可以看到，误差和系统闭环结构是相关的。