完全二叉树

完全二叉树简介

大凡学过数据结构和计算机的都应该完全二叉树吧，我们知道完全二叉树是效率很高的数据结构，堆是一种完全二叉树，所以效率极高，像十分常用的排序算法、Dijkstra算法、Prim算法等都要用堆才能优化，几乎每次都要考到的二叉排序树的效率也要借助平衡性来提高，而平衡性基于完全二叉树。

完全二叉树定义
　　
完全二叉树(Complete Binary Tree) 　　

若设二叉树的高度为h，除第 h 层外，其它各层 (1～h-1) 的结点数都达到最大个数，第 h 层所有的节点都连续集中在最左边，这就是完全二叉树。 　　完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有N个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 　　

若一棵二叉树至多只有最下面的两层上的结点的度数可以小于2，并且最下层上的结点都集中在该层最左边的若干位置上，则此二叉树成为完全二叉树。

完全二叉树特点
　　
叶子结点只可能在最大的两层上出现,对任意结点，若其右分支下的子孙最大层次为L，则其左分支下的子孙的最大层次必为L 或 L+1； 　　

出于简便起见,完全二叉树通常采用数组而不是链表存储,其存储结构如下: 　　var tree:array[1..n]of longint;{n:integer;n>=1} 　　

对于tree，有如下特点： 　　

（1）若i为奇数且i>1，那么tree的左兄弟为tree[i-1]； 　　

（2）若i为偶数且i
（3）若i>1，tree的双亲为tree[i div 2]； 　　

（4）若2*i<=n，那么tree的左孩子为tree[2*i]；若2*i+1<=n，那么tree的右孩子为tree[2*i+1]； 　　

（5）若i>n div 2,那么tree为叶子结点（对应于（3））； 　　

（6）若i<(n-1) div 2.那么tree必有两个孩子（对应于（4））。 　　


（7）满二叉树一定是完全二叉树，完全二叉树不一定是满二叉树 　　

完全二叉树第i层至多有2^（i-1）个节点，共i层的完全二叉树最多有2^i-1个节点。

完全二叉树叶子结点的算法
　　
如果一棵具有n个结点的深度为k的二叉树，它的每一个结点都与深度为k的满二叉树中编号为1~n的结点一一对应，这棵二叉树称为完全二叉树。 　　

可以根据公式进行推导，假设n0是度为0的结点总数（即叶子结点数），n1是度为1的结点总数，n2是度为2的结点总数，由二叉树的性质可知：n0=n2+1，则n= n0+n1+n2（其中n为完全二叉树的结点总数），由上述公式把n2消去得：n= 2n0+n1-1，由于完全二叉树中度为1的结点数只有两种可能0或1，由此得到n0=（n+1）/2或n0=n/2，就可根据完全二叉树的结点总数计算出叶子结点数。