离散小波变换

离散小波变换

对于连续小波而言，尺度a、时间t和与时间有关的偏移量T都是连续的。如果利用计算机计算，就必须对他们进行离散化处理，得到离散小波变换。

在JPEG中，离散余弦变换将图像压缩为8×8 的小块，然后依次放入文件中，这种算法靠丢弃频率信息实现压缩，因而图像的压缩率越高，频率信息被丢弃的越多。在极端情况下，JPEG图像只保留了反映图像外貌的基本信息，精细的图像细节都损失了。小波变换是现代谱分析工具，他既能考察局部时域过程的频域特征，又能考察局部频域过程的时域特征，因此即使对于非平稳过程，处理起来也得心应手。他能将图像变换为一系列小波系数，这些系数可以被高效压缩和存储，此外，小波的粗略边缘可以更好地表现图像，因为他消除了DCT压缩普遍具有的方块效应。

离散小波变换和去噪

通俗的讲就是剥大蒜的过程，也就是不断的分层，使得信号拆分成各种频段（根据采用频率而定），而这一过程要用到低通滤波器和高通滤波器，而小波去噪就是在高频部分（因为通常白噪声出现在高频部分）改变数字量，运用一些算法去除一些混有噪声的数字，然后再运用重构低通滤波器和高通滤波器把刚刚分层的频段加起来，差不多就是拼凑大蒜的过程吧。

如何改变高频系数（也就是去除噪声）具体算法如下：

1.软门限和硬门限
所谓门限法,就是选择一个门限,然后利用这个门限对小波变换后的离散细节信号和离散逼近信号进行处理。
硬门限可以描述为：当数据的绝对值小于给定的门限时,令其为零,而数据为其他值时不变。
软门限可以描述为:当数据的绝对值小于给定的门限时,令其为零,然后把其他数据点向零收缩。

2.门限选择的准则及其算法
根据现有的文献,对于被高斯白噪声污染的信号基本噪声模型, 一般地, 选择门限的准则如下:
1． 无偏风险估计准则。对应于每一个门限值, 求出与其对应的风险值, 使风险最小的门限就是我们所要选取的门限，其具体算法为:
(a) 把待估计的矢量中的元素取绝对值, 由小到大排序, 然后将各个元素平方, 得到新的待估计矢量N V ,其长度为原待估计矢量的长度n。
(b) 对应每一个元素下标(即元素的序号) k ,若取门限为待估计矢量的第k 个元素的平方根,则风险算法为:
(2) 固定门限准则。 利用固定形式的门限,可取得较好的去噪特性。
设n 为待估计矢量的长度,取长度2 倍的常用对数的平方根为门限.

(3) 极小极大准则。本准则采用固定门限获得理想过程的极小极大特性. 极小极大原理是在统计学中为设计估计量而采用的,由于去噪信号可以假设为未知回归函数的估计量,则极小极大估计量是实现在最坏条件下最大均方误差最小的任选量。

(4) 混合准则。 它是无偏风险估计和固定门限准则的混合

离散小波变换程序实现

1： [cA,cH,cV,cH] = dwt2(X,'wname')   单层二维离散小波变换 

                  对应    X = idwt (cA,cH,cV,cH,'wname')  单层二维离散小波反变换

 2：[C,S] = wavedec2(X,N,'wname')  多层二维离散小波变换

                  对应   X = waverec2 (c,s,'wname')  多层二维离散小波反变换

   C 中存放 [A(N),H(N)V(N)D(N), H(N-1)V(N-1)D(N-1)... H(1)V(1)D(1)]

   S（1，：） 第N层近似系数的长度；

   S (i,:)    第N-i+1层细节系数的长度，i从2到N+1;

   S（N+2,:)  原始信号长度

eg:

load facets
whos
image(X);colormap(map);colorbar;
R = map (X,1);R = reshape (R,size(X));
G = map (X,2);G = reshape (G,size(X));
B = map (X,3);B = reshape (R,size(X))
Xrgb = 0.2990*R + 0.5870*G + 0.1140*B;
n = 64;
X2 = round(Xrgb*(n-1))+1;
map2 = gray(n);
X2 = round(Xrgb*(n-1))+1;
map2 = gray(n);
figure
image(X2);colormap(map2);colorbar           % 以上所有处理为 去彩色，转化成灰度图

[cA1,cH1,cV1,cD1] = dwt2 (X2,'bior3.7');    % 二维离散小波变换
A1 = upcoef ('a',cA1,'bior3.7',1);          % 重建四组小波系数
H1 = upcoef ('h',cH1,'bior3.7',1);
V1 = upcoef2 ('v',cV1,'bior3.7',1);
D1 = upcoef2 ('d',cD1,'bior3.7',1);
colormap(map2);
subplot(2,2,1); image(A1);                  %作图
subplot(2,2,2); image(H1);
subplot(2,2,3); image(V1);
subplot(2,2,4); image(D1)